寄生草莓的英文俱樂部

為了要畫出一個正五邊形找了好多資料

有些證明很奇怪　　所以就不採用　

最後發現這一篇是講的最清楚的

http://sa.ylib.com/saeasylearn/saeasylearnshow.asp?FDocNo=1389&CL=81

要畫出正五邊形首先要先了解黃金分割比例

何謂黃金分割比例

則　(X + 1) / X = X / 1 => X = (1+√5)/2

如何黃金分割一條線段

1. 做線段 BD 垂直 AB 於B點　　且 2BD = AB
2. 連接線段 AD, 並在AD 上取 DE = BD
3. 在AB上取 AC = AE, 則 C 將AB　黃金分割點

證明 : 

令 AB = 2, 則 BD = 1, AD = √5

則 AE = AC = √5 - 1

AC : BC = √5 - 1 : 3 -√5  = (1+√5)/2

正五邊形的黃金比例特性

正五邊形的黃金比例特性 : 正五邊形的任一對角線與邊長的比洽為黃金比例

證明 : 

五邊形的內角和 = 180  x  (5 - 2) = 540 , 任一個內角 = 108

令 DC 為 角 ADB 的角平分線

則 角DAC = 角ADC = 角 DBC = 36

等腰三角形腰相等 => BD = CD = AC

三角形 DBC 和三角形 ADB 為相似三角形

故

AB : BD = CD : BC   

因為 AC = CD = BD

故 AB : BD = AB : AC = CD : BC = AC : BC

故  C 點為線段 AB 的黃金分割點

如何利用正五邊形的黃金比例特性作出正五邊形

已知線段 AB , 求做一正五邊形

取 C 點為AB 之黃金分割點

1. 以 AC 為半徑 , 分別以 B, C 為圓心畫弧交於 D 點,  D 點為五邊形之端點之一
2. 以 AC 為半徑 , 分別以 A , D 為圓心畫弧交於 E 點,  E 點為五邊形之另一端點
   
3. 以 AC 為半徑 , 分別以 A , B 為圓心畫弧交於 F 點,  F 點為五邊形之另一端點
4. 得正五邊形的五個端點為 A, B, D, E, F

延伸

1. 求做已知圓之內接正五邊形
2. 求做已知圓之外切正五邊形